求微分方程y''+y'+y=e^x的通解
这是一个二阶常系数非齐次线性方程.先求齐次方程y''+y'+y=0的通解.
其特征方程r²+r+1=0的根r₁,₂=(-1±i√3)/2是一对共轭复根,因此其通解为：
y=[e^(-x/2)]{C₁cos[(√3)/2]x+C₂sin[(√3)/2]x}
再用待定系数法求一个特解y*:
设y*=ae^x,于是(y*)'=ae^x；(y*)''=ae^x；代入原式得：
ae^x+ae^x+ae^x=3ae^x=e^x,故3a=1,即a=1/3；
于是得特解y*=(1/3)e^x；
故原方程的通解为y=[e^(-x/2)]{C₁cos[(√3)/2]x+C₂sin[(√3)/2]x}+(1/3)e^x.