Question

已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12x2?2x，当x＞1时，不等式k（x-1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，

Answer 1

因为当x＞1时，不等式k（x-1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，

即k（x-1）＜xlnx+2（x-2）+3对一切x∈（1，+∞）恒成立，

亦即k＜[xlnx+2x?1/x?1]=[xlnx+1/x?1+2对一切x∈（1，+∞）恒成立，

所以不等式转化为k＜

xlnx+1

x?1+2对任意x＞1恒成立．

设p（x）=

xlnx+1

x?1+2，则p′（x）=

x?lnx?2

(x?1)2]，

令r（x）=x-lnx-2（x＞1），则r′（x）=1-[1/x]=[x?1/x]＞0

所以r（x）在（1，+∞）上单调递增．

因为r（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，r（4）=4-ln4-2=2-2ln2＞0，

所以r（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4），

当1＜x＜x₀时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；

当x＞x₀时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．

所以函数p（x）=[xlnx+1/x?1+2在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，

又r（x₀）=x₀-lnx₀-2=0，所以lnx₀=x₀-2．

所以[p（x）]_min=p（x₀）=

x0lnx0+1

x0?1+2=

x0(x0?2)+1

x0?1]=x₀-1+2∈（4，5），

所以k＜[p（x）]_min=x₀-1+2∈（4，5）

故整数k的最大值是4．

故答案为：4