Question

概率问题!将n只球随机的放入n个盒子中去,一只盒子装一个球,若一只球装入与球同号的盒子中,称为一个配对,球1.至少有一个

Answer 1

独立的看：第i个盒子能完成配对的概率：

第一个：1/n

第二个：(第一个盒子不选2号球)*(第二个盒子选2号球) ：(n-1)/n * (1/(n-1)) = 1/n

第i个：前面的盒子都不选i号球,第i个盒子选i号球：

[(n-1)/n] * [(n-2)/(n-1)] * [(n-3)/(n-2)] * ...* [(n-i)/(n-i+1)] * [1/(n-i)] = 1/n

所以,设Xi为第i个盒子能完成配对：P(Xi=1) = 1/n P(Xi=0) = (n-1)/n

所以,E(Xi) = 1/n * 1 + 0* (n-1)/n

由期望的性质：E(x) = E(x1)+E(X2)+...+E(Xn) = n* 1/n = 1