Question

已知：如图，AC是⊙O的直径，AB和⊙O相交于E，BC和⊙O相切于C，D在BC上，DE是⊙O的切线，E 是切点，

Answer 1

（1）证明：连接CE，∵DC和DE都与⊙O相切，

∴DC=DE，∠CDO=∠EDO，

∴OD⊥CE．（1分）

又AC是直径，故∠CEA=90°，

即AE⊥CE，

∴OD ∥ AB；（2分）

（2）证明：

证法一：DE、DC是⊙O的切线，OD ∥ AB，故∠ODE=∠ODC=∠B．（3分）

∴Rt△BCE ∽ Rt△DOE，

∴BC：OD=BE：DE，

即BC•DE=OD•BE．（5分）

而DE是Rt△BCE斜边上的中线，故BC=2DE，

∴2DE ²=BE•OD．（6分）

证法二：BC ²=BE•BA，OD是△ABC的中位线，（3分）

∴BA=2OD，又BC=2DE，

∴4DE ²=BE•2OD，

∴2DE ²=BE•OD．（6分）

（3）

解法一：由②和已知条件得DE ²=OD，即OD ²-OE ²=OD．（7分）

两边同除以OD ²得1-（

OE

OD ） ²-

1

OD ，

得1-sin ²a=

1

OD ，

∴cos ²a=

1

OD （8分）

解法二：注意到D是BC的中点，可知DB=DE，

∴∠DEB=∠DBE=α，于是cosa=

1

DE （过D作DG⊥EB可知）．（7分）

由（2）及已知可得DE ²=OD，

∴cos ²a=

1

OD ．（8分）

1年前

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