xlnx+ylny-(x+y)ln((x+y)/2)用单调性证明此式子为什么大于0

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  • 说明:所与式子仅当x>0,且y>0时有意义,因此本问题也只能在此范围内讨论;其次本问题宜使用函数的凹凸性证明,而不是单调性;最后,x=y时该式子等于0,故应有x≠y的条件.

    证明:考虑函数f(x)=xlnx

    因为f'(x)=lnx+1,f"(x)=1/x,当x>0时,恒成立f"(x)>0,故f(x)是凹函数,由凹函数定义:当x>0,且y>0(x≠y)时,(1/2)[f(x)+f(y)]>(1/2)f[(x+y)/2),所求证的命题成立.