裂项法的原理是什么?

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  • 一、基本概念:

    1、 数列的定义及表示方法:

    2、 数列的项与项数:

    3、 有穷数列与无穷数列:

    4、 递增(减)、摆动、循环数列:

    5、 数列{an}的通项公式an:

    6、 数列的前n项和公式Sn:

    7、 等差数列、公差d、等差数列的结构:

    8、 等比数列、公比q、等比数列的结构:

    二、基本公式:

    9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系:an=

    10、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时,an是关于n的一次式;当d=0时,an是一个常数.

    11、等差数列的前n项和公式:Sn= Sn= Sn=

    当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0),Sn=na1是关于n的正比例式.

    12、等比数列的通项公式:an= a1 qn-1 an= ak qn-k

    (其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0)

    13、等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式);

    当q≠1时,Sn= Sn=

    三、有关等差、等比数列的结论

    14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列.

    15、等差数列{an}中,若m+n=p+q,则

    16、等比数列{an}中,若m+n=p+q,则

    17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列.

    18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列.

    19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

    {an bn}、 、 仍为等比数列.

    20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列.

    21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列.

    22、三个数成等差的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,a+d,a+3d

    23、三个数成等比的设法:a/q,a,aq;

    四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?)

    24、{an}为等差数列,则 (c>0)是等比数列.

    25、{bn}(bn>0)是等比数列,则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列.

    26.在等差数列 中:

    (1)若项数为 ,则

    (2)若数为 则,,

    27.在等比数列 中:

    (1) 若项数为 ,则

    (2)若数为 则,

    四、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.关键是找数列的通项结构.

    28、分组法求数列的和:如an=2n+3n

    29、错位相减法求和:如an=(2n-1)2n

    30、裂项法求和:如an=1/n(n+1)

    31、倒序相加法求和:如an=

    32、求数列{an}的最大、最小项的方法:

    ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

    ② (an>0) 如an=

    ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=

    33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求

    (1)当 >0,d