Question

证明这个常用不等式x,y是正数,求证 ((x+y)/2)^n 小于等于 (x^n+y^n)/2求思路

Answer 1

用均值为等式：a1^n+a2^n+...+an^n≥n•a1a2...an

令 A=(x+y)/2,由基本不等式,得

x^n/A^n +1+1+...+1≥n•x/A （注：共n-1个1）

y^n/A^n +1+1+...+1≥n•y/A

两式相加,得 (x^n+y^n)/A^n +2n-2 ≥2n

即 (x^n+y^n)/A^n ≥2

(x^n+y^n)/2 ≥[(x+y)/2]^n