题意可知：底面为正三角形,边长为：√（a²+a²）=√2 a.
从最高顶点(编号A)做底面的垂线（椎体高AE）,做一底边的垂线（椎侧面高AG）,可知球心在椎体高AE上,球在侧面的切点在AG上.为方便,球心编号为O,在侧面的切点为F.球半径为R.
则：连接GE,并延长至底面一顶点B.（或BG为底面三角形高、中线都行,反正是正三角形,高、中线合一了）.
（准备工作完成,开始计算了.）
BG=底边长*cos60°=√2 a * √3/2=√6 a /2（2分之根号6倍的a）
EG=BG/3=√6 a /6,BE=2/3*BG=√6 a /3
AE=√（a²-BE²）=√3 a /3
相似关系有：AO/AE=R/EG,AO=AE-R
(AE-R)/AE=R/EG 变形后为：1/R=1/EG+1/AE,代入数值：
1/R=6/(√6 a)+3/(√3 a ),得R=√6 a/(6+3√2) =0.239a
体积V=4/3*3.14*R³=4/3*3.14*（0.239a）³=0.057a³ .
算的晕晕乎乎,你自己好好检查下吧.