Question

已知：如图，在矩形ABCD中，BC=6，AB=8．延长AD到点E，使AE=15，连接BE交AC于点P．

Answer 1

解题思路：（1）先利用勾股定理计算出AC=10，再证明△PBC∽△PEA，然后利用相似比和比例性质计算AP；

（2）利用[AB/AC]≠[AC/AB]，可判断△BAP与△CAB不相似，则AP与BE不垂直，然后根据直线与圆的位置关系进行判断；

（3）根据点与圆的位置关系得到0≤r₁＜6，再利用两圆相切的性质得到r₁=10-r₂，则0≤10-r₂＜6，然后解不等式组．

（1）∵在矩形ABCD中，BC=6，AB=8．

∴AC=

AB2+BC2=10，

，∵BC∥AE，

∴△PBC∽△PEA，

∴[PC/PA]=[BC/AE]=[6/15]=[2/5]，

∴[PC+AP/AP]=[7/5]，

∴AP=[5/7]×10=[50/7]；

（2）∵[AB/AC]≠[AC/AB]，

∴△BAP与△CAB不相似，

∴AP与BE不垂直，

∴BE与⊙A的位置关系为相交；

（3）若以A为圆心，r₁为半径作⊙A，使点D在⊙A内，点B在⊙A外，则r₁的取值范围为0≤r₁＜6；

∵r₁+r₂=10，

∴r₁=10-r₂，

∴0≤10-r₂＜6，

∴4＜r₂≤10．

故答案为0≤r₁＜6；4＜r₂≤10．

点评：

本题考点： 圆与圆的位置关系；点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题考查了圆与圆的位置关系：若两圆的圆心距、半径分别为d、R、r，则①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．也考查了点与圆、直线与圆的位置关系．