Question

已知圆M的圆心在直线2x-y-6=0上，且过点（1，2）、（4，-1）．

Answer 1

解题思路：（1）设圆心坐标为（m，2m-6）则利用圆过点1，2）、（4，-1），求出m即可；

（2）设P，R的坐标，利用直线和圆相切，建立方程关系，进行判断．

（1）∵圆M的圆心在直线2x-y-6=0上，且过点（1，2）、（4，-1）．

∴设圆心坐标为（m，2m-6），半径为r，

则圆的标准范围为（x-m）²+（y-2m+6）²=r²；

则（1-m）²+（2-2m+6）²=r²且（4-m）²+（-1-2m+6）²=r²；

即（m-1）²+（8-2m）²=r²且（m-4）²+（5-2m）²=r²；

解得m=4，r=3，

∴圆M：（x-4）²+（y-2）²=9．

（2）设P（x，y），R（a，b），

则（x-4）²+（y-2）²=9，

即x²+y²=8x+4y-11，

又PQ²=x²+y²-1，PR²=（x-a）²+（y-b）²=x²+y²-2ax-2by+a²+b²，

故PQ²=8x+4y-12，

PR²=（8-2a）x+（4-2b）y+a²+b²-11，

又设[PQ/PR＝t为定值，

故8x+4y-12=t²[（8-2a）x+（4-2b）y+a²+b²-11]，

可得

8＝(8−2a)t2

4＝(4−2b)t2

−12＝(a2+b2−11)t2]，

解得

a1＝2

b1＝1

t1＝

2或

a2＝

2

5

b2＝

1

5

t2＝

10

3，

综上，存在点R（2，1）或(

2

5 ，

1

5)满足题意．

点评：

本题考点： 直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题主要考查利用待定系数法求圆的方程，以及直线与圆的位置关系应用，考查学生的运算能力．