解题思路:(1)由勾股定理求出AB的值,然后又三角形的面积公式建立等量关系求出EP的值,最后在Rt△CMP中由题目条件通过解直角三角形就可以求出MP的值.
(2)分E在AC上和在BC上时两种情况进行考虑,先利用三角形相似求出EP的值,再通过解直角三角形求出MP的值,最后根据三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式.根据自变量的取值范围和化为顶点式就可以求出其最大值.
(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=30,AC=40,
∴AB=
BC2+AC2=
302+402=50.
由面积公式可得AB•CP=BC•AC.
∴CP=
BC•AC
AB=
30×40
50=24.
∵PC⊥AB,tan∠CMP=3,
∴MP=
CP
tan∠CMP=8.
(2)分两种情况考虑:
①当点E在线段AC上时,如图②,
在Rt△AEP和Rt△ABC中,
∵∠APE=∠ACB=90°,∠A=∠A,
∴△APE∽△ACB.
∴[EP/BC=
AP
AC],即 [EP/30=
x
40],
∴EP=
3
4x.
∵tan∠EMP=3,
∴MP=
EP
tan∠EMP=
1
4x=PN.
∴BN=AB−AP−PN=50−x−
1
4x=50−
5
4x.
∴y=
1
2BN•EP=
1
2(50−
5
4x)•
3
4x=−
15
32x2+
75
4x.
当点E与点C重合时,AP=
402−242=32.
∴自变量x的取值范围是:0<x<32.
②当点E在线段BC上时,如图③,
在Rt△BPE和Rt△BCA中,
∵∠BPE=∠BCA=90°,∠B=∠B,
∴△BPE∽△BCA.
∴
EP
AC=
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;三角形的面积;勾股定理;锐角三角函数的定义.
考点点评: 本题考查了勾股定理的运用,相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,三角形的面积,锐角三角形函数的定义的运用.