Question

任意四边形ABCD,对角线AC与BD交于O点,三角形AOD,BOC面积为4和64,求四边形ABCD面积的最小值

Answer 1

设AO=a,BO=b,CO=c,DO=d,∠AOD=BOC=∠1,∠AOB=∠COD=∠2

由已知得:

0.5*a*d*sin∠1=4

0.5*b*c*sin∠1=64

即d*sin∠1=8/a,b*sin∠1=128/c

SΔAOB+SΔCOD=0.5*a*b*sin∠2+0.5*c*d*sin∠2

因为∠1+∠2=180°

所以SΔAOB+SΔCOD

=0.5*a*b*sin∠1+0.5*c*d*sin∠1

=0.5*a*128/c+0.5*c*8/a

=64a/c+4c/a>=2√(64*4)=32

所以四边形ABCD面积的最小值=4+64+32=100