Question

已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，直线MN是梯形的对称轴，P是MN上的一点．直线BP交直线DC于F，交CE于E，且

Answer 1

解题思路：（1）欲证BP²=PE•PF；MN为对称轴，可知BP=CP，又∵CE∥AB，所以∠E=∠ABE，即∠PCD=∠E，即证△CPF∽△EPC；根据相似三角形的性质即可得证BP²=PE•PF．

（2）成立，解法同（1）．

（1）证明：连接PC，

直线MN是等腰梯形ABCD的对称轴，

∴BP=CP，∠PBC=∠PCB，∠ABC=∠DCB，

∵CE∥AB

∴∠E=∠ABE

∴∠PCD=∠E

∵∠FPC=∠FPC

∴△PCF∽△PEC

∴PC：PE=PF：PC

∴BP²=PE•PF；

（2）成立．

连接PC，

理由：直线MN是等腰梯形ABCD的对称轴，

∴BP=CP，∠PBC=∠PCB，∠ABC=∠DCB，

∵CE∥AB，

∴∠CEF=∠ABE，

∴∠ABC=∠BCE，∠PCE=∠BCE-∠BCP=∠ABC-∠CBP=∠DCB-∠CBP=∠F，即∠F=∠DCB-∠CBF，

∵∠FPC=∠FPC，

∴△PCF∽△PEC，

∴PC：PE=PF：PC，

∴BP²=PE•PF．

点评：

本题考点： 等腰梯形的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 此题综合性较强，综合考查了等腰梯形的性质，对称图形的特点，相似三角形的判定和性质．