如图,四棱锥B-ACDE中,底面ACDE为直角梯形,CD∥AE,∠BCD=∠ACD=90°,二面角A-CD-B为60°,

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  • 解题思路:(1)由已知条件推导出∠BCA=60°,从而得到BC⊥CD,由此能够证明AC⊥BE.

    (2)过D点作AE的垂线,垂足为F,由已知条件推导出∠BDF为BD与面ABE所成的角,由此能求出BD与面ABE所成角的正弦值.

    (3)作FG⊥BE,连结DG,由已知条件推导出∠DGF是A-BE-D的二面角,由此能求出二面角A-BE-D的余弦值.

    (1)证明:∵∠BCD=∠ACD=90°

    ∴AC⊥CD,BC⊥CD,

    ∴∠BCA为二面角A-CD-B的平面角,

    ∵二面角A-CD-B为60°,∴∠BCA=60°,

    ∵在△ABC中,BC=2,AC=1,∠BCA=60°,

    ∴∠ABC=30°,∠BAC=90°,即BC⊥CD,

    ∴AC⊥平面ABE,∵BE⊂平面ABE,

    ∴AC⊥BE.

    (2)过D点作AE的垂线,垂足为F,

    ∵AC⊥平面ABE,∴DF∥AC,∵AC⊥BE,

    ∴DF⊥面ABE 即∠BDF为BD与面ABE所成的角,

    ∵DF=AC=2,BC=2,CD=1,

    ∴BD=

    BC2+CD2=

    5,BF=

    BD2−DE2=2,

    ∴sin∠BDF=[BF/BD]=

    2

    5

    5.

    ∴BD与面ABE所成角的正弦值为

    2

    5

    5.

    (3)作FG⊥BE,连结DG,

    ∵DF⊥面ABE,DF⊥BE,FG⊥BE,

    ∴BE⊥平面DFG,∴DG⊥BE,

    ∴∠DGF是A-BE-D的二面角,

    AB2+AF2=BF2,∴∠BAF=90°,

    BE=

    AB2 +AE2=

    点评:

    本题考点: 与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面所成的角.

    考点点评: 本题考查异面直线垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.