解题思路:(1)由已知条件推导出∠BCA=60°,从而得到BC⊥CD,由此能够证明AC⊥BE.
(2)过D点作AE的垂线,垂足为F,由已知条件推导出∠BDF为BD与面ABE所成的角,由此能求出BD与面ABE所成角的正弦值.
(3)作FG⊥BE,连结DG,由已知条件推导出∠DGF是A-BE-D的二面角,由此能求出二面角A-BE-D的余弦值.
(1)证明:∵∠BCD=∠ACD=90°
∴AC⊥CD,BC⊥CD,
∴∠BCA为二面角A-CD-B的平面角,
∵二面角A-CD-B为60°,∴∠BCA=60°,
∵在△ABC中,BC=2,AC=1,∠BCA=60°,
∴∠ABC=30°,∠BAC=90°,即BC⊥CD,
∴AC⊥平面ABE,∵BE⊂平面ABE,
∴AC⊥BE.
(2)过D点作AE的垂线,垂足为F,
∵AC⊥平面ABE,∴DF∥AC,∵AC⊥BE,
∴DF⊥面ABE 即∠BDF为BD与面ABE所成的角,
∵DF=AC=2,BC=2,CD=1,
∴BD=
BC2+CD2=
5,BF=
BD2−DE2=2,
∴sin∠BDF=[BF/BD]=
2
5
5.
∴BD与面ABE所成角的正弦值为
2
5
5.
(3)作FG⊥BE,连结DG,
∵DF⊥面ABE,DF⊥BE,FG⊥BE,
∴BE⊥平面DFG,∴DG⊥BE,
∴∠DGF是A-BE-D的二面角,
AB2+AF2=BF2,∴∠BAF=90°,
BE=
AB2 +AE2=
点评:
本题考点: 与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面所成的角.
考点点评: 本题考查异面直线垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.