Question

（2008•朝阳区二模）已知函数f(x)＝43x3+ax-1（a∈R），其中f'（x）是f（x）的导函数．

Answer 1

解题思路：（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率与直线2x-y+1=0的斜率相等，从而求出a的值；

（II）先求出函数g（x）的解析式，令φ（a）=（1-x）a+4x²-4，因为对一切|a|≤1，都有g（x）＜0恒成立等价于对一切|a|≤1，都有φ（a）＜0恒成立，然后建立不等关系，解之即可求出x的取值范围．

（Ⅰ）f'（x）=4x²+a，

f'（1）=4+a=2，

所以a=-2．

（Ⅱ）g（x）=f'（x）-ax-4=4x²-ax+a-4，

令φ（a）=（1-x）a+4x²-4，

因为对一切|a|≤1，

都有g（x）＜0恒成立等价于对一切|a|≤1，都有φ（a）＜0恒成立．

所以

φ(−1)＜0

φ(1)＜0即

4x2−x−3＜0

4x2+x−5＜0解得−

3

4＜x＜1．

则当x∈(−

3

4，1)时，对一切|a|≤1，都有g（x）＜0恒成立．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．