已知双曲线
的一条渐近线方程是
，它的一个焦点在抛物线
的准线上，点
是双曲线
右支上相异两点，且满足
为线段
的中点，直线
的斜率为
（1）求双曲线
的方程；
（2）用
表示点
的坐标；
（3）若
，
的中垂线交
轴于点
，直线
交
轴于点
，求
的面积的取值范围．
（1）
；（2）
；（3）
试题分析：（1）求双曲线的标准方程只需找到两个关于
的两个等式，通过解方程即可得到
的值，从而得到双曲线方程.
（2）由直线AB的方程与双曲线方程联立，消去y可得关于x的一个一元二次方程，判别式必须满足大于零，再由韦达定理可表示出点D的坐标，又根据
即可用k表示点D的纵坐标.从而可求出点D的坐标.
（3）
的中垂线交
轴于点
，直线
交
轴于点
求
的面积.通过直线AB可以求出点N的坐标，又由线段AB的中垂线及中点D的坐标，可以写出中垂线的方程，再令y=0，即可求出点M.以MN长为底边，高为点D的纵坐标，即可求出面积的表达式.再用最值的求法可得结论.
试题解析：（1）
双曲线
的方程为
；
（2）方法一：
设直线
的方程为
代入方程
得
当
时记两个实数根为
则
∴
的方程为
把
代入得
下求