已知函数f(x)=log3x2+ax+bx2+cx+1,是否存在实数a、b、c,使f(x)同时满足下列三个条件:

1个回答

  • 解题思路:由f(x)是R上的奇函数,可得f(0)=0,log3b=0,可得b的值.再利用f(-x)=-f(x),a=-c. 这时

    f(x)=lo

    g

    3

    x

    2

    −cx+1

    x

    2

    +cx+1]在[1,+∞)上是增函数,且最大值是1.转化为

    u(x)=

    x

    2

    −cx+1

    x

    2

    +cx+1

    在[1,+∞)上是增函数,且最大值是3.利用导数研究其单调性即可.

    由f(x)是R上的奇函数,可得f(0)=0,log3b=0,∴b=1.

    又∵f(-x)=-f(x),即log3

    x2−ax+1

    x2−cx+1=−log3

    x2+ax+1

    x2+cx+1,

    x2+1−ax

    x2+1−cx=

    x2+1+cx

    x2+1+ax⇔(x2+1)2−a2x2=(x2+1)2−c2x2.

    ∴a2=c2⇒a=c或a=-c,但a=c时,f(x)=0,不合题意;故a=-c.

    这时f(x)=log3

    x2−cx+1

    x2+cx+1在[1,+∞)上是增函数,且最大值是1.

    设u(x)=

    x2−cx+1

    x2+cx+1在[1,+∞)上是增函数,且最大值是3.

    ∵u′(x)=

    (2x−c)(x2+cx+1)−(2x+c)(x2−cx+1)

    (x2+cx+1)2=

    2c(x2−1)

    (x2+cx+1)2=

    2c(x+1)(x−1)

    (x2+cx+1)2,

    当x>1时,x2-1>0⇒u'(x)>0,故c>0;

    又当x<-1时,u'(x)>0;当x∈(-1,1)时,u'(x)<0;

    故c>0,又当x<-1时,u'(x)>0,当x∈(-1,1)时,u'(x)<0.

    ∴u(x)在(-∞,-1),(1,+∞)是增函数,在(-1,1)上是减函数.

    又∵x>1时,x2-cx+1<x2+cx+1,u(x)<1,

    ∴x=-1时,u(x)最大值为3.

    ∴[1+c+1/1−c+1=3,c=1,a=−1.

    经验证:a=-1,b=1,c=1时,f(x)符合题设条件,

    ∴存在满足条件的a、b、c,即a=-1,b=1,c=1.

    点评:

    本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数奇偶性的性质;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题考查了对数函数类型的函数奇偶性、利用导数研究函数的单调性极值与最值,属于难题.

    1年前

    10

    回答问题,请先

    登录

    ·

    注册

    可能相似的问题

    已知函数f(x)=log3x2+ax+bx2+cx+1,是否存在实数a、b、c,使f(x)同时满足下列三个条件:

    1年前

    1个回答

    已知函数f(x)=x+ax(a>0).(1)若不等式f(x)<b的解集是(1,3),求不等式ax2-bx+1<0的解集;

    1年前

    1个回答

    已知函数f(x)=12x2−ax+lnx在(0,+∞)上是增函数,则a的取值范围是(  )

    1年前

    1个回答

    已知函数f(x)=x2−ax+ax,若对任意x∈[3,+∞),f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围(  )

    1年前

    1个回答

    已知函数f(x)=lnx+ax(a>0)

    1年前

    1个回答

    已知函数f(x)=lnx−ax+1−ax−1(a∈R),当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程

    1年前

    1个回答

    (2007•闵行区一模)已知函数f(x)=x−ax(a>0),有下列四个命题:

    1年前

    1个回答

    (2013•浙江模拟)已知函数f(x)=13x3−ax+1.

    1年前

    1个回答

    已知函数f(x)=x+ax(a∈R),g(x)=lnx

    1年前

    1个回答

    已知函数f(x)=x−ax−(a+1)lnx (a∈R).

    1年前

    1个回答

    已知函数f(x)=x2+ax( x≠0,常数a∈R).

    1年前

    1个回答

    已知函数f(x)=lnx+ax−1在(2,+∞)内有极值.

    1年前

    1个回答

    已知函数f(x)=loga(ax−x)(a>0,a≠1)

    1年前

    1个回答

    已知函数f(x)=12x2−ax+(a−1)lnx

    1年前

    1个回答

    已知函数f(x)=2−ax+1(a∈R)的图象过点(4,-1)

    1年前

    1个回答

    (2010•丰台区一模)已知函数f(x)=lnx+ax.

    1年前

    1个回答

    已知函数f(x)=ln(ax+1)+1−x1+x(x≥0,a为正实数).

    1年前

    1个回答

    已知函数f(x)=exx2−ax+a.

    1年前

    1个回答

    你能帮帮他们吗

    在一个装有红白两色球的盒子里,现在知道有6个红色,摸到白球的可能性是七分之五,那盒子里有多少个白球

    1年前

    悬赏5滴雨露

    3个回答

    豪放而充满英雄气概的成语

    1年前

    6个回答

    A:What's this in English B:It's a jacket.A:What color is it

    1年前

    悬赏5滴雨露

    1个回答

    某产品生产流水线每小时生产100件产品,生产前没产品积压,生产3小时后,安排工人装箱,若每小时装150件,则未装箱产品数

    1年前

    1个回答

    文明餐桌行动征文

    1年前

    悬赏5滴雨露

    1个回答

    精彩回答

    下列对名著《西游记》评述有错误的一项( )

    5个月前

    悬赏5滴雨露

    1个回答

    What's the third month of the year?

    9个月前

    1个回答

    订正:战国时期秦国蜀郡太守李冰的历史贡献是修建了灵渠。

    9个月前

    1个回答

    材料的发展为科学技术的发展提供了物质基础.下列说法与事实不相符的是(  )

    1年前

    悬赏20滴雨露

    1个回答

    下列现象与解释相对应的是(  )

    1年前

    1个回答

    Copyright © 2021 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 17 q. 0.055 s. - webmaster@yulucn.com