解题思路:由f(x)是R上的奇函数,可得f(0)=0,log3b=0,可得b的值.再利用f(-x)=-f(x),a=-c. 这时
f(x)=lo
g
3
x
2
−cx+1
x
2
+cx+1]在[1,+∞)上是增函数,且最大值是1.转化为
u(x)=
x
2
−cx+1
x
2
+cx+1
在[1,+∞)上是增函数,且最大值是3.利用导数研究其单调性即可.
由f(x)是R上的奇函数,可得f(0)=0,log3b=0,∴b=1.
又∵f(-x)=-f(x),即log3
x2−ax+1
x2−cx+1=−log3
x2+ax+1
x2+cx+1,
∴
x2+1−ax
x2+1−cx=
x2+1+cx
x2+1+ax⇔(x2+1)2−a2x2=(x2+1)2−c2x2.
∴a2=c2⇒a=c或a=-c,但a=c时,f(x)=0,不合题意;故a=-c.
这时f(x)=log3
x2−cx+1
x2+cx+1在[1,+∞)上是增函数,且最大值是1.
设u(x)=
x2−cx+1
x2+cx+1在[1,+∞)上是增函数,且最大值是3.
∵u′(x)=
(2x−c)(x2+cx+1)−(2x+c)(x2−cx+1)
(x2+cx+1)2=
2c(x2−1)
(x2+cx+1)2=
2c(x+1)(x−1)
(x2+cx+1)2,
当x>1时,x2-1>0⇒u'(x)>0,故c>0;
又当x<-1时,u'(x)>0;当x∈(-1,1)时,u'(x)<0;
故c>0,又当x<-1时,u'(x)>0,当x∈(-1,1)时,u'(x)<0.
∴u(x)在(-∞,-1),(1,+∞)是增函数,在(-1,1)上是减函数.
又∵x>1时,x2-cx+1<x2+cx+1,u(x)<1,
∴x=-1时,u(x)最大值为3.
∴[1+c+1/1−c+1=3,c=1,a=−1.
经验证:a=-1,b=1,c=1时,f(x)符合题设条件,
∴存在满足条件的a、b、c,即a=-1,b=1,c=1.
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数奇偶性的性质;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查了对数函数类型的函数奇偶性、利用导数研究函数的单调性极值与最值,属于难题.
1年前
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