Question

在空间四边形ABCD中,AB⊥CD,BC⊥AD.求证:AC⊥BD

Answer 1

这个问题等价于“四面体的两对棱互相垂直,

则第三对棱也互相垂直”

连结BC,AD.设A在面BCD上的射影为O.连结BO,CO,DO.

则∵CD⊥AB,CD⊥AO,AB∩AO=A,∴CD⊥面ABO.

而BO在平面ABO内,∴BO⊥CD.

同理,DO⊥BC.因此,O是△BCD的垂心,因此有

CO⊥BD.

∵BD⊥CO,BD⊥AO,CO∩AO=O,∴BD⊥面AOC.

而AC在平面AOC内,∴BD⊥AC.