(1)利用一次函数图象上点的坐标特征求解;
(2)如答图1所示,解题关键是求出点P、点Q的坐标,然后利用PA=2PQ,列方程求解;
(3)如答图2所示,利用相似三角形,将已知的比例式转化为:
CD
DE
=
PQ
AQ
,据此列方程求出m的值.
(1)在直线解析式y=2x+2中,令y=0,得x=-1;x=0,得y=2,
∴A(-1,0),C(0,2);
(2)当0<m<1时,依题意画出图形,如答图1所示.
∵PE=CE,∴直线l是线段PC的垂直平分线,
∴MC=MP,又C(0,2),M(0,m),
∴P(0,2m-2);
直线l与y=2x+2交于点D,令y=m,则x=
m−2
2
,∴D(
m−2
2
,m),
设直线DP的解析式为y=kx+b,则有
b=2m−2
k•
m−2
2
+b=m
,解得:k=-2,b=2m-2,
∴直线DP的解析式为:y=-2x+2m-2.
令y=0,得x=m-1,∴Q(m-1,0).
已知△PAQ是以P为顶点的倍边三角形,由图可知,PA=2PQ,
∴
OA2+OP2
=2
OP2+OQ2
,即
1+(2m−2)2
=2
(2m−2)2+(m−1)2
,
整理得:(m-1)2=
1
16
,解得:m=
5
4
(
5
4
>1,不合题意,舍去)或m=
3
4
,
∴m=
3
4
.
(3)当1<m<2时,假设存在实数m,使CD•AQ=PQ•DE.
依题意画出图形,如答图2所示.
由(2)可知,OQ=m-1,OP=2m-2,由勾股定理得:PQ=
5
(m-1);
∵A(-1,0),Q(m-1,0),B(a,0),∴AQ=m,AB=a+1;
∵OA=1,OC=2,由勾股定理得:CA=
5
.
∵直线l∥x轴,∴△CDE∽△CAB,
∴
CD
DE
=
CA
AB
;
又∵CD•AQ=PQ•DE,∴
CD
DE
=
PQ
AQ
,
∴
CA
AB
=
PQ
AQ
,即
5
a+1
=
5
(m−1)
m
,
解得:m=
a+1
a
.
∵1<m<2,∴当0<a≤1时,m≥2,m不存在;当a>1时,m=
a+1
a
.
∴当1<m<2时,若a>1,则存在实数m=
a+1
a
,使CD•AQ=PQ•DE;若0<a≤1,则m不存在.
点评:本题是代数几何综合题,考查了坐标平面内一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、解方程等知识点.题目综合性较强,有一定的难度.第(3)问中,注意比例式的转化
CD
DE
=
PQ
AQ
,这样可以