(2013•常州)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A,与y轴交于点C,

1个回答

  • (1)利用一次函数图象上点的坐标特征求解;

    (2)如答图1所示,解题关键是求出点P、点Q的坐标,然后利用PA=2PQ,列方程求解;

    (3)如答图2所示,利用相似三角形,将已知的比例式转化为:

    CD

    DE

    PQ

    AQ

    ,据此列方程求出m的值.

    (1)在直线解析式y=2x+2中,令y=0,得x=-1;x=0,得y=2,

    ∴A(-1,0),C(0,2);

    (2)当0<m<1时,依题意画出图形,如答图1所示.

    ∵PE=CE,∴直线l是线段PC的垂直平分线,

    ∴MC=MP,又C(0,2),M(0,m),

    ∴P(0,2m-2);

    直线l与y=2x+2交于点D,令y=m,则x=

    m−2

    2

    ,∴D(

    m−2

    2

    ,m),

    设直线DP的解析式为y=kx+b,则有

    b=2m−2

    k•

    m−2

    2

    +b=m

    ,解得:k=-2,b=2m-2,

    ∴直线DP的解析式为:y=-2x+2m-2.

    令y=0,得x=m-1,∴Q(m-1,0).

    已知△PAQ是以P为顶点的倍边三角形,由图可知,PA=2PQ,

    OA2+OP2

    =2

    OP2+OQ2

    ,即

    1+(2m−2)2

    =2

    (2m−2)2+(m−1)2

    ,

    整理得:(m-1)2=

    1

    16

    ,解得:m=

    5

    4

    5

    4

    >1,不合题意,舍去)或m=

    3

    4

    ,

    ∴m=

    3

    4

    (3)当1<m<2时,假设存在实数m,使CD•AQ=PQ•DE.

    依题意画出图形,如答图2所示.

    由(2)可知,OQ=m-1,OP=2m-2,由勾股定理得:PQ=

    5

    (m-1);

    ∵A(-1,0),Q(m-1,0),B(a,0),∴AQ=m,AB=a+1;

    ∵OA=1,OC=2,由勾股定理得:CA=

    5

    ∵直线l∥x轴,∴△CDE∽△CAB,

    CD

    DE

    CA

    AB

    又∵CD•AQ=PQ•DE,∴

    CD

    DE

    PQ

    AQ

    ,

    CA

    AB

    PQ

    AQ

    ,即

    5

    a+1

    5

    (m−1)

    m

    ,

    解得:m=

    a+1

    a

    ∵1<m<2,∴当0<a≤1时,m≥2,m不存在;当a>1时,m=

    a+1

    a

    ∴当1<m<2时,若a>1,则存在实数m=

    a+1

    a

    ,使CD•AQ=PQ•DE;若0<a≤1,则m不存在.

    点评:本题是代数几何综合题,考查了坐标平面内一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、解方程等知识点.题目综合性较强,有一定的难度.第(3)问中,注意比例式的转化

    CD

    DE

    PQ

    AQ

    ,这样可以