正三角形底边为F1F2,因F1和F2关于Y轴对称的两点,故正三角形顶点在Y轴,
设AF1中点是P点,AF2中点是Q点,连结F2P、F1Q,
则|F1Q|=|PF2|,设|F1Q|=m,|QF2|=n,
根据双曲线定义,m-n=2a,
两边平方,m^2-2mn+n^2=4a^2,(1)
∵△AF1F2是正△,
∵P、Q分别是F1A和F2A的中点,
∴F1Q⊥AF2,F2P⊥F1A,
∴△PF1F2和△QF1F2均是RT△,
∴根据勾股定理,
m^2+n^2=4c^2,(2)
(2)-(1)式,
2mn=4(c^2-a^2)4b^2
mn=2b^2,
∵AO是正△AF1F2底边F1F2边上高,
∴OA=√3c,
作QH⊥X轴,H是垂足,
在RT△QF1F2中,根据等面积原理,
|F1Q|*|QF2|=|F1F2|*|HQ|,
|HQ|=mn/(2c)=2b^2/(2c)=b^2/c,
∵HQ又是△AOF2的中位线,
∴|HQ|=|OA|/2,
b^2/c=√3c/2.
2b^2=√3c^2,
2c^2-2a^2= √3c^2,
(c/a)^2=4+2√3,
c/a=√（√3+1）^2=√3+1,
∴离心率e=c/a=√3+1.