Question

（2012•湖南模拟）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f（x•y）=f（x）+

Answer 1

解题思路：根据已知中对任意的正数x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），且数列{a_n}满足

f(

s

n

+2)−f(

a

n

)＝f(3)(n∈

N

*

)

，可得数列{a_n}是一个以1为首项，以[3/2]为公比的等比数列，进而得到数列的通项公式．

∵对任意的正数x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），

∵f(sn+2)−f(an)＝f(3)(n∈N*)，

∴f（s_n+2）=f（3）+f（a_n）=f（3•a_n）

又∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，

∴s_n+2=3a_n…①

当n=1时，s₁+2=a₁+2=3a₁，解得a_n=1

当n≥2时，s_n-1+2=3a_n-1…②

①-②得：a_n=3a_n-3a_n-1

即

an

an−1＝

3

2

∴数列{a_n}是一个以1为首项，以[3/2]为公比的等比数列

∴a_n=(

3

2)n−1

故选D

点评：

本题考点： 数列与函数的综合．

考点点评： 本题以抽象函数为载体考查了等比数列通项公式的求法，其中根据已知得到f（sn+2）=f（3）+f（an）=f（3•an）是解答的关键．