Question

已知f（x）=x2+（lga+2）x+lgb，f（-1）=-2，当x∈R时f（x）≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f

Answer 1

解题思路：由f（-1）=-2，得出a与b的关系，f（x）≥2x恒成立，即x²+xlga+lgb≥0，对x∈R恒成立，由判别式小于

或等于0解出a与b的值，进而得到f（x）解析式，由解析式求f（x）的最小值．

由f（-1）=-2，得：f（-1）=1-（lga+2）+lgb=-2，解之得：lga-lgb=1，

∴[a/b]=10，a=10b．

又由x∈R，f（x）≥2x恒成立．知：x²+（lga+2）x+lgb≥2x，即x²+xlga+lgb≥0，对x∈R恒成立，

由△=lg²a-4lgb≤0，故得（1+lgb）²-4lgb≤0

即（lgb-1）²≤0，只有lgb=1，不等式成立．

即b=10，∴a=100．

∴f（x）=x²+4x+1=（2+x）²-3

当x=-2时，f（x）_min=-3．

点评：

本题考点： 函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查利用条件求函数解析式，函数恒成立问题及求函数最值问题，属于中档题．