Question

如图，在直角坐标平面内，O为原点，已知抛物线y=x2+bx+3经过点A（3，0），与y轴的交点为B，设此抛物线的顶点为C

Answer 1

解题思路：（1）由抛物线y=x²+bx+3经过点A（3，0），利用待定系数法即可求得b的值，然后求得此抛物线的解析式，配方，即可求得顶点为C的坐标；

（2）由点C₁与C关于x轴对称，即可求得点C₁的坐标，又由待定系数法求得直线AB的解析式，即可证得点C₁在直线AB上；

（3）分为若BD∥OC₁与DC₁∥OB去分析，根据平行线的性质与等腰三角形的性质，即可求得点D的坐标．

（1）∵抛物线y=x²+bx+3经过点A（3，0），

∴9+3b+3=0，

解得：b=-4，

∴此抛物线的解析式为：y=x²-4x+3=（x-2）²-1，

∴此抛物线的顶点为C的坐标为（2，-1）；

（2）∵点C₁与C关于x轴对称，

∴点C₁的坐标为（2，1），

∵当x=0时，y=3，

∴点B的坐标为（0，3），

设直线AB的解析式为：y=kx+b，

∴

b=3

3k+b=0，

解得：

k=-1

b=3，

∴直线AB的解析式为：y=-x+3，

∵-2+3=1，

∴点C₁在直线AB上；

（3）存在．

如图1，若BD∥OC₁，

∵直线OC₁的解析式为：y=[1/2]x，

∴设直线BD的解析式为：y=[1/2]x+b，

则b=3，

∴直线BD的解析式为：y=[1/2]x+3，

设点D（a，[1/2]a+3），

∵AB=C₁D，

∴（a-2）²+（[1/2]a+3-1）²=9，

∴a=-[2/5]（不合题意，舍去）或a=2（此题是平行四边形，舍去）；

如图2，当DC₁∥OB，

过点D作DE⊥OB于E，过点C作FC⊥x轴于F，

∵四边形OC₁DB是等腰梯形，

∴BE=CF=1，DE=OF=2，

∴CD=OB-2BE=3-2=1，

∴DF=2，

∴点D的坐标为（2，2）．

故带D的坐标为（2，2）．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了待定系数法求函数的解析式，等腰梯形的性质，平行线的性质以及点与函数的关系．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．