Question

已知 函数f（x）=ax^3+x²-ax（a,x∈R）

Answer 1

g(x)=f(x)/x-lnx = ax²+ x – a –lnx

所以g(x)’ = ax+1 –1/x

令g(x)’ ≥ 0 即解方程组

ax+1 –1/x ≥ 0

x>1/2

（1）当a=0时,解之得 x ≥ 1 即

函数g(x)的单调递增区间为{x|x ≥ 1}

（2）当a≠0时,对于方程ax²+ x – 1=0的判别式△= 1 + 8a

① 当△= 1 + 8a < 0时,即 a < -1/8 时,方程ax²+ x – 1=0无实数根,即此不等式组无实数解.

② 当△= 1 + 8a ≥ 0时,即 a ≥ -1/8且a≠0时,方程ax²+ x – 1=0有实数根 (-1±√1+8a)/4a

又当 -1/8 ≤ a < 0时,(-1-√1+8a)/4a > (-1+√1+8a)/4a且(-1-√1+8a)/4a > 1/2

所以不等式组的解为x > (-1-√1+8a)/4a,即函数g(x)的单调递增区间为｛x|x > (-1-√1+8a)/4a｝

当 a > 0 时,(-1+√1+8a)/4a > (-1-√1+8a)/4a 且(-1+√1+8a)/4a < 1/2

所以不等式组的解为x > 1/2,即函数g(x)的单调递增区间为｛x|x > 1/2｝