Question

若不等式an^2+Sn^2/n^2≥m a1^2对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立.则实数m的最大值为(

Answer 1

告别学生生活很多年了,不熟练了,我只能小小发表一下自己的见解了.

(an)²+(Sn)²/n²≥m (a1)²,对a1=0的情况肯定成立,那我们就只讨论a1不等于0的情况.

(an)²+[n(a1+an)/2]²/n²≥m (a1)²,

4m≤5(an/a1)²+2(an/a1)+1,

而an/a1=1+(n-1)d/a1,令t=(n-1)d/a1,则an/a1=1+t,

代入整理得4m≤5t²+12t+8,

t是与n、d、a1三个参数有关的变量,题意应该就是说无论t怎么变,不等式都成立,

那么4m能取的最大值就是二次函数5t²+12t+8的最小值,

容易得4m≤4/5,

所以m≤1/5.

不能保证完全无误,原创思路仅供参考哦