直接法：
例1、在x克a%的盐水中,加入y克b%的盐水,浓度变为c%(a,b>0,a,b不相等）,则x与y的函数关系是_________.
x09解析：由题意可得,∴所求函数的解析式为：.
x09小结：此法常用于与函数有关的应用题.
待定系数法：
例2、已知f (x)是二次函数且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4,则f (x)=___.由题意可设：f(x)=ax2+bx+c,则f(x-1)+f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=
2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x+4对x∈R恒成立,从而有
.
x09小结：当已知函数的类型时,常用此法.
换元法：
例3、已知f ,则f(x)=____________.
x09设u=≥1,则,则=
,∴f(x).
x094、凑配法：如例4（同例3）∵f =,∴f(x).
x09小结：当已知函数的一个复合函数的解析式时,常用换元法或凑配法.
x095、方程组法：如例5、已知f(x)+2,求f(x).
∵①∴ 以代替①式中x的得②
∴①-②2得：,即.
x09小结：当已知x与或x与-x的函数值的一个方程时,可考虑用此法.
6、相关点法：如例6、已知函数f(x)=2x+1与函数y=g(x)的图象关于直线x=2成轴对称图形,试求函数y=g(x)的解析式.
设在所求函数的图象上,点是M关于直线x=2的对称点,则
x09
又∴即g(x)=9-2x.
x09小结：当以函数图象的对称性为已知条件时,可考虑用此法.
x097、叠加法：如例7、已知函数f(x)对任意的x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+(x+y)+1,且f(1)=1,若x∈N,试求f(x)的解析式.
x09令x=y=0,则有f(0)=f(0)+f(0)+0,∴f(0)=0,再令y=1,则f(x+1)=f(x)+f(1)+x,
①,令①中x=1,2,3,…,n-1,得f(2)=f(1)+2,f(3)=f(2)+3,
f(4)=f(3)+4,…,f(n-1)=f(n-2)+(n-1),f(n)=f(n-1)+n,以上各式左右两边分别相加得：
f(n)=f(1)+2+3+…+n=1+2+3+…+(n-1)=,当n=0时,f(0)=0成立.
故f(x)的表达式为f(x)=,x∈N.
x09小结：此法只适用于定义域为整数集（或它的子集）的函数,关键是可求得f(n)-f(n-1).
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