解题思路：（1）连接OP和BP，可证出∠BPD=∠PBD，再由OB=OP得出∠OPB=∠OBP，从而得出∠OPD=90°，从而证出DP是⊙O的切线；
（2）连接OD，在Rt△ABC中，可求得AC，再根据三角形的中位线定理得出OD的长，则求出DP的长．
（1）证明：连接OP和BP，
∵AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，
∴∠APB=90°，AB⊥BC，
∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°
在Rt△BPC中，D为BC边的中点
∴BD=PD
∴∠BPD=∠PBD
∵OB=OP
∴∠OPB=∠OBP
∴∠OPD=∠OPB+∠BPD=∠OBP+∠PBD=∠ABC=90°
即PD⊥OP
∴DP是⊙O的切线
（2）连接OD
在Rt△ABC中
∵cosA＝
3
5，⊙O的半径为5
∴AC＝
AB
cosA＝
50
3
∵OA=OB，DC=DB
∴OD=[1/2]AC=[25/3]，
在Rt△OPD中，PD=
OD2−OP2=
(
25
3)2−52=[20/3]．
点评：
本题考点： 切线的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．
考点点评： 本题是一道综合题，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和解直角三角形，熟练掌握切线的判定定理和三角函数是解此题的关键．