Question

如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上。

Answer 1

（1）∵AB是直径，

∴∠BCA=90°，

而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，

∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，

∴B、C、E三点共线；

（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图，

∵CB=CA，CD=CE，

∴Rt△BCD≌Rt△ACE，

∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，

∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，

即BD⊥AE，

又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，

∴ON=

BD，OM=

AE，ON∥BD，AE∥OM；

∴ON=OM，ON⊥OM，

即△ONM为等腰直角三角形，

∴MN=

OM；

（3）成立，理由如下：

和（2）一样，易证得Rt△BCD ₁≌Rt△ACE ₁，

同理可证BD ₁⊥AE ₁，△ON ₁M ₁为等腰直角三角形，从而有M ₁N ₁=

OM ₁。