Question

如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·A

Answer 1

(1)见解析 (2)

(1)证明:因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知

=

,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.

因为B,E,F,C四点共圆,

所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.

所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.

(2)解:连接CE,因为∠CBE=90°,

所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE.

由DB=BE,有CE=DC.

又BC ²=DB·BA=2DB ²,

所以CA ²=4DB ²+BC ²=6DB ².

而CE ²=DC ²=DB·DA=3DB ²,

故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为

.