Question

已知a＞0，且a≠1，f（logax）=[aa2-1（x-1/x]）．

Answer 1

解题思路：（1）用换元法，令t=log_ax （t∈R），则x=a^t，可得f（t）的关系式，进而可得答案；

（2）令g（x）=a^x-a^-x，分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论g（x）的单调性与

a

a

2

−1

的符号，由函数单调性的性质，可得答案；

（3）分析可得，f（0）=0，结合函数的单调性，可将f（x²-3x+2）＜0转化为x²-3x+2＜0，解可得答案．

（1）令t=log_ax （t∈R），则x=a^t，

且f（t）=

a

a2-1（a^t-a^-t）．

∴f（x）=

a

a2-1（a^x-a^-x） （x∈R）．

（2）令g（x）=a^x-a^-x

当a＞1时，g（x）=a^x-a^-x为增函数，

又

a

a2-1＞0，

∴f（x）为增函数；

当0＜a＜1时，g（x）=a^x-a^-x为减函数，

又

a

a2-1＜0，

∴f（x）为增函数．

∴综上讨论知，函数f（x）在R上为增函数．

（3）∵f（0）=

a

a2-1（a⁰-a⁰）=0

∴f（x²-3x+2）＜0=f（0）．

由（2）知：x²-3x+2＜0

解得1＜x＜2

∴不等式的解集为{x|1＜x＜2}．

点评：

本题考点： 函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，首先要利用换元法求出函数的解析式，也是本题的关键所在．