Question

有关于三棱锥的,在三棱锥P-ABC中,已知AB=1,AC=2,角BAC的角平分线AD=1,且棱锥的三个侧面与底面都成60

Answer 1

因为AD是∠BAC的平分线,所以BD/CD=AB/AC=1/2,

设BD=x,则CD=2x,设∠BAC=2α,则∠BAD=∠DAC=α

由余弦定理知,在△ABD中,x²=1²+1²-2×1×1×cosα ①

在△ADC中,4x²=1²+2²-2×1×2×cosα ②,

①代入②,得4(2-2cosα)=5-4cosα,cosα=3/4,

所以sinα=√7/4,sin∠BAC=sin2α=2sinαcosα=3√7/8,

△ABC的面积S=(1/2)*AB*AC*sin∠BAC=3√7/8,

由于棱锥的三个侧面与底面都成60度角,

所以三棱锥的侧面积=S/cos60°=3√7/4.