Question

（2013•天津模拟）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=

Answer 1

解题思路：（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=[1/2]（180°-∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA₁，得DE⊥平面A₁AE，从而得到平面A₁AE⊥平面平面A₁DE．

（2）取BB₁的中点F，连接EF、AF，连接B₁C．证出EF∥A₁D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A₁D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A₁D所成角的余弦值．

（3）建立的空间直角坐标系中，求得平面A₁DE的一个法向量，平面CA₁D的法向量，利用向量数量积求解夹角余弦值，则易得二面角C-A₁D-E的余弦值．

（1）依题意，BE=EC=[1/2]BC=AB=CD，

∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°，

又∵△CDE中，∠CED=∠CDE=[1/2]（180°-∠ECD）=30°

∴∠AED=180°-∠CED-∠AEB=90°，即DE⊥AE，

∵AA₁⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA₁，

∵AA₁∩AE=A，∴DE⊥平面A₁AE，

∵DE⊆平面A₁DE，∴平面A₁AE⊥平面A₁DE．

（2）取BB₁的中点F，连接EF、AF，连接B₁C，

∵△BB₁C中，EF是中位线，∴EF∥B₁C

∵A₁B₁∥AB∥CD，A₁B₁=AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，可得B₁C∥A₁D

∴EF∥A₁D，

可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A₁D所成的角．

∵△CDE中，DE=

3CD=

3=A₁E=

A1A2+AE2，AE=AB=1

∴A₁A=

2，由此可得BF=

2

2，AF=EF=

1

2+1=

点评：

本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．

考点点评： 本题在直平行六面体中，求证面面垂直并求异面直线所成角余弦，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．