抛物线y^2=4x的焦点为F2(1,0),点F1与F2关于坐标原点对称,
以F1,F2为焦点的椭圆C:x^2/(1+b^2)+y^2/b^2=1过点（1,√2/2）,
所以1/(1+b^2)+1/(2b^2)=1,
去分母得2b^2+1+b^2=2b^2+2b^4,
整理得2b^4-b^2-1=0,b^2=1,
所以椭圆C的方程是x^2/2+y^2=1.
(2)设AB的中点为M,则向量TA+TB=2TM,
a=-1时AF2=F2B,M与F2重合,|TM|=1,
a=-2时AF2=2F2B,设A(1+2k,2h),B(1-k,-h),
(1+2k)^2/2+4h^2=1,①
(1-k)^2/2+h^2=1,②
①-②*4,（-3+12k)/2=-3,k=-1/4,
代入②,25/32+h^2=1,h=土√14/8,
M(7/8,土√14/16）,|TM|=√(81/64+7/128)=13√2/16,
所以|TA+TB|=2|TM|的取值范围是[2,13√2/8].