1.设直线方程为y=kx+b,将M(0,1)代入方程解得b=1-->y=kx+1
因为直线与抛物线有交点,将两式联立：
-x^2/2=kx+1
移项：x^2+2kx+2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
显然x1,x2为方程x^2+2kx+2=0的两根.
因为OA和OB的斜率之和为1,所以y1/x1+y2/x2=1,
且y1=-x1^2/2,y2=-x2^2/2,代入上式--->x1+x2=-2.
根据韦达定理,x1+x2=-2k=-2 --->k=1
写到这里,这道题算是解完了,但是k=1并不能保证
方程x^2+2kx+2=0有两个不相同的实数根,即不能保证直线与抛物线有2个交点,我检查了很久,没检查出错误,于是怀疑你的题目是不是有问题.也或者我水平有限,那么以上步骤仅供参考.
2.
设椭圆方程为y^2/a^2+x^2/b^2=1,
因为焦点为（0,根号50）,所以a^2-b^2=50 (1)
将直线方程代入椭圆方程得：
(3x-2)^2/a^2+x^2/b^2=1
化简得：（9+a^2/b^2）x^2-12x+4-a^2=0
因为直线与椭圆有两个交点(x1,y1)(x2,y2),那么x1,x2应当是上述方程的两个实根,且由题意可知道,两交点连线构成弦的中点的横坐标可表示为：(x1+x2)/2=0.5,所以x1+x2=1
由韦达定理：x1+x2=12/(9+a^2/b^2)=1 (2)
将（1）（2）两式联立成方程组即可求出a,b,从而求出椭圆方程.