Question

在ABC中,证明acosB+bcosA=c

Answer 1

楼上的太简略,我来具体解释一下

三角形ABC,做高CD,D是垂足

则直角三角形ACD中,cosA=AD/AC,而AC=b

所以AD=bcosA

同理,直角三角形BCD中,cosB=BD/BC,BC=a

所以BD=acosB

所以acosB+bcosA=BD+AD=AB=c

或用余弦定理

cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac,cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc

所以acosB+bcosA=a(a^2+c^2-b^2)/2ac+b(b^2+c^2-a^2)/2bc

=(a^2+c^2-b^2)/2c+(b^2+c^2-a^2)/2c

=(a^2+c^2-b^2+b^2+c^2-a^2)/2c

=2c^2/2c

=c