Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M是棱AB的中点．求证：

Answer 1

解题思路：（1）由已知得B₁C⊥BC₁，从而AB⊥平面BCC₁B₁，进而B₁C⊥AB，由此能证明B₁C⊥平面ABC₁．

（2）连结BC₁交CB₁于N，连结MN，由已知条件得MN∥AC₁，由此能证明直线AC₁∥平面B₁MC．

证明：（1）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C⊥BC₁，

∴AB⊥平面BCC₁B₁，

∵CB₁⊂平面BCC₁B₁，

∴B₁C⊥AB，

又∵AB∩BC₁=B，

∴B₁C⊥平面ABC₁，

（2）如图，连结BC₁交CB₁于N，连结MN，

∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，

∴N是BC₁的中点，

又∵M是棱AB的中点，

∴MN∥AC₁，

又∵MN⊂平面B₁MC，AC₁⊄平面B₁MC，

∴直线AC₁∥平面B₁MC．

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．