Question

以△ABC的三边为边,在BC的同侧作三个等边△ABD,△BEC,△ACF.证明（1）ADEF为平行四边形.

Answer 1

先证明△BDE≌△BAC,可得DE=AC,而AC=AF,故AF=DE,同理,AD=EF,四边形ADEF为平行四边形.

证明：∵△ABD,△BEC,△ACF是等边三角形

∴BD＝AB,BC＝BE,AC＝AF,∠ABD＝∠EBC＝60°

∴∠ABD－∠ABE＝∠EBC－∠ABE

即∠EBD＝∠ABC

在△BDE和△BAC中

BD＝AB,∠EBD＝∠ABC,BC＝BE

∴△BDE≌△BAC

∴DE＝AC,

又∵AC＝AF

∴DE＝AF

同理,AD＝EF

∴四边形ADEF是平行四边形

（2）要使平行四边形ADEF是菱形,则需一组临边相等,如AD＝AF,那需AB＝AC,所以AB＝AC时四边形ADEF是菱形.

要使平行四边形ADEF是矩形,则需要有一个内角是直角,如∠DAF＝90°,又∠DAB＝∠FAC＝60°,所以∠BAC＝150°