(1)∵且 a n =
1
2 (3n+ S n ) 对一切正整数n恒成立,
即2a n=3n+S n…①对一切正整数n恒成立.
∴2a n+1=3(n+1)+s n+1…②
②-①得:2a n+1-2a n=3+s n+1-s n,
∴3a n+1-2a n=3
∴a n+1+3=2(a n+3)
又a 1+3=6>0,所以a 2+3=2(a 1+3)>0,由此类推an+3>0
所以
a n+1 +3
a n +3 =2
所以数列{a n+3}是以a 1+3=6为首项,以2为公比的等比数列.
(2)假设数列{a n}中存在这样的三项满足其条件,且这三项分别为数列{a n}的第x,y,z项.
由(1)知数列{a n+3}是以a 1+3=6为首项,以2为公比的等比数列.
∴a n+3=6×2 n-1,
∴a n=3×2 n-3
又第x,y,z项构成等差数列,
∴2(3×2 y-3)=3×2 x-3+3×2 z-3
∴2 y+1=2 x+2 z
∴2 y+1-x=1+2 z-x
又x、y、z都是整数,
等式左边是偶数,右边是奇数,
∴这样的x、y、z是不存在的.
即数列{an}中不存在有三项,使它们可以构成等差数列.