已知数列{a n }的前n项和S n ,且 a n = 1 2 (3n+ S n ) 对一切正整数n恒成立.

1个回答

  • (1)∵且 a n =

    1

    2 (3n+ S n ) 对一切正整数n恒成立,

    即2a n=3n+S n…①对一切正整数n恒成立.

    ∴2a n+1=3(n+1)+s n+1…②

    ②-①得:2a n+1-2a n=3+s n+1-s n

    ∴3a n+1-2a n=3

    ∴a n+1+3=2(a n+3)

    又a 1+3=6>0,所以a 2+3=2(a 1+3)>0,由此类推an+3>0

    所以

    a n+1 +3

    a n +3 =2

    所以数列{a n+3}是以a 1+3=6为首项,以2为公比的等比数列.

    (2)假设数列{a n}中存在这样的三项满足其条件,且这三项分别为数列{a n}的第x,y,z项.

    由(1)知数列{a n+3}是以a 1+3=6为首项,以2为公比的等比数列.

    ∴a n+3=6×2 n-1

    ∴a n=3×2 n-3

    又第x,y,z项构成等差数列,

    ∴2(3×2 y-3)=3×2 x-3+3×2 z-3

    ∴2 y+1=2 x+2 z

    ∴2 y+1-x=1+2 z-x

    又x、y、z都是整数,

    等式左边是偶数,右边是奇数,

    ∴这样的x、y、z是不存在的.

    即数列{an}中不存在有三项,使它们可以构成等差数列.