Question

数列an的前n项和为Sn=2^n-1,设bn满足bn=an+1/an,判断并证明bn 的单调性

Answer 1

Sn=2^n-1

=>an=Sn-S(n-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)

bn=an+1/an

=2^(n-1)+1/(2^(n-1))

那么有

bn-b(n-1)

=(2^(n-1)-2^(n-2))+（1/2^(n-1)-1/2^(n-2))

=2^(n-2)-1/2^(n-1)

当n>=2时

2^(n-2)>=1

1/2^(n-1)2^(n-1)-1/2^(n-1)>0

=>bn>b(n-1)

因此bn是单调递增的