Question

已知双曲线与椭圆x29+y225=1有公共焦点F1，F2，它们的离心率之和为2[4/5]．

Answer 1

解题思路：（1）由于椭圆焦点为F（0，±4），离心率为e=[4/5]，可得双曲线的离心率为2，结合双曲线与椭圆

x

2

9

+

y

2

25

=1有公共焦点F₁，F₂，求出a，b，c．最后写出双曲线的标准方程；

（2）求出|PF₁|=7，|PF₂|=3，|F₁F₂|=8，利用余弦定理，即可求cos∠F₁PF₂．

（1）椭圆

x2

9+

y2

25=1的焦点为（0，±4），离心率为e=[4/5]．

∵双曲线与椭圆的离心率之和为2[4/5]，

∴双曲线的离心率为2，

∴[c/a]=2

∵双曲线与椭圆

x2

9+

y2

25=1有公共焦点F₁，F₂，

∴c=4，

∴a=2，b=

12，

∴双曲线的方程是

y2

4−

x2

12＝1；

（2）由题意，|PF₁|+|PF₂|=10，|PF₁|-|PF₂|=4

∴|PF₁|=7，|PF₂|=3，

∵|F₁F₂|=8，

∴cos∠F₁PF₂=

72+32−82

2•7•3=-[1/7]．

点评：

本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查椭圆双曲线的标准方程，以及简单性质的应用，考查余弦定理，难度中等．