Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物

Answer 1

解题思路：（1）根据抛物线的顶点是（2，1），因而设抛物线的表达式为y=a（x-2）²+1，把A的坐标代入即可求得函数的解析式；

（2）①根据△PCM为等边三角形，则△CGM中，∠CMD=30°，CG的长度可以求得，利用直角三角形的性质，即可求得CM，即等边△CMP的边长，则P的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得P的坐标；

②可以利用反证法，假设x轴上存在一点，使△CMN≌△CPE，可以证得EN=EF，即N与F重合，与点E为直线y=x上的点，∠CEF=45°即点N与点F不重合相矛盾，故N不存在．

（1）设抛物线的表达式为y=a（x-2）²+1，将点A（0，2）代入，得

a（0-2）²+1=2…1分

解这个方程，得a=[1/4]，

∴抛物线的表达式为y=[1/4]（x-2）²+1=[1/4]x²-x+2；将x=2代入y=x得y=2，

∴点C的坐标为（2，2），

∴OC=

22+22=2

2，

把y=x代入y=[1/4]x²-x+2，得：x=[1/4]x²-x+2

解得：x₁=4+2

2，x₂=4-2

2＜2（不合题意，舍去），

将x₁=4+2

2代入y=x得y=4+2

2，

∴OE=（4+2

2）•

2=4

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及等边三角形的性质，解直角三角形，反证法，正确求得E的坐标是关键．