Question

（2012•成都模拟）根据定义在集合A上的函数y=f（x），构造一个数列发生器，其工作原理如下：

Answer 1

（1）当x∈A，即0＜x＜1 时，由m∈N^*，可知m+1-x＞0，

∴[mx/m+1−x＞0

又

mx

m+1−x−1＝

(m+1)(x−1)

m+1−x＜0

∴

mx

m+1−x＜1

∴0＜f（x）＜1，即f（x）∈A

故对任意x₀∈A，有x₁=f（x₀）∈A，

由 x₁∈A 有x₂=f（x₁）∈A，

x₂∈A 有x₃=f（x₂）∈A；

以此类推，可一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列

（2）由x_n+1=f（x_n）=

mxn

m+1−xn]，可得[1

xn+1＝

m+1/m •

1

x−

1

m]，

∴an+1＝

m+1

man−

1

m，

即an+1＝

m+1

m(an−1)．

令b_n=a_n-1，则bn+1＝

m+1

mbn，

又b1＝

m+1

m≠0，

所以{b_n}是以[m+1/m]为首项，以[m+1/m]为公比的等比数列．

bn＝(

m+1

m)n，即a_n=(

m+1

m)n+1

（3）要证[1/4＜xm≤

1

3]，即证3≤(

m+1

m)m+1＜4，只需证2≤(1+

1

m)m＜3，

当m∈N^*时，

有(1+

1

m)m=