将杨辉三角中的每一个数nCr都换成分数1÷((n+1)nCr),就得到一个如图所示的分数三角形,成为莱布尼兹三角形.

1个回答

  • 下面以C_n^r=n!/[r!(n-r)!]来记组合数.因此1/[(n+1)C_n^r]=r!(n-r)!/(n+1)!.

    (1) 由已知,r!(n-r)!/(n+1)!+x!(n-x)!/(n+1)!=r!(n-1-r)!/n!,两边同乘(n+1)!化简可得

    x!(n-x)!=(r+1)!(n-r-1)!.

    故x=r+1或n-r-1.

    (2) 当n>2时,a_n=1/3+1/12+...+1/[n(n-1)(n-2)].

    利用关系式1/[x(x-1)(x-2)]=1/2[1/x+1/(x-2)-2/(x-1)]=1/2[1/x-1/(x-1)]+1/2[1/(x-2)-1/(x-1)]可得

    a_n=1/2[(1/3-1/2)+(1/4-1/3)+(1/5-1/4)+...+(1/n-1/(n-1))]

    +1/2[(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/(n-2)-1/(n-1))]

    =1/2(1/n-1/2)+1/2[1-1/(n-1)]

    =(n-2)(n+1)/[2n(n-1)].

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