(I)f′(x)=a-
2
2x+1 ,
∴函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x,
∴f′(0)=a-2=2,
∴a=4.
(II)由已知得函数f(x)的定义域为(-
1
2 ,+∞),且f′(x)=a-
2
2x+1 ,
(1)当a≤0时,f′(x)<0,函数f(x)在(-
1
2 ,+∞)上单调递减,
(2)当a>0时,由f′(x)=0,解得 x=
2-a
2a >-
1
2 .f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表
x (-
1
2 ,
2-a
2a )
2-a
2a (
2-a
2a ,+∞)
f′(x) - 0 +
f(x) 减 极小值 增 从上表可知
当 x∈(-
1
2 ,
2-a
2a ) 时,f′(x)<0,函数f(x)在 (-
1
2 ,
2-a
2a ) 上单调递减.
当 x∈(
2-a
2a ,+∞) 时,f′(x)>0,函数f(x)在 (
2-a
2a ,+∞) 上单调递增.
综上所述:
当a≤0时,函数f(x)在(-
1
2 ,+∞)上单调递减.
当a>0时,函数f(x)在 (-
1
2 ,
2-a
2a ) 上单调递减,函数f(x)在 (
2-a
2a ,+∞) 上单调递增.
(III)函数f(x)的图象总是在直线 y=2ax+
1
2 a 的上方,
即ax-ln(2x+1)> 2ax+
1
2 a 在(-
1
2 ,+∞)上恒成立,
即a< -
2ln(2x+1)
2x+1 在(-
1
2 ,+∞)上恒成立.
设G(x)= -
2ln(2x+1)
2x+1 ,则G′(x)=
4ln(2x+1)-4
(2x+1) 2 ,
令G′(x)>0得x>
e-1
2 ,G′(x)<0得-
1
2 <x<
e-1
2 ,G′(x)=0得x=
e-1
2 ,
∴G(x)在x=
e-1
2 处取得最小值G(
e-1
2 )=-
2
e .
∴a<-
2
e .
∴a的取值范围:a<-
2
e .