已知函数f(x)=ax-ln(2x+1),其中a∈R.

1个回答

  • (I)f′(x)=a-

    2

    2x+1 ,

    ∴函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x,

    ∴f′(0)=a-2=2,

    ∴a=4.

    (II)由已知得函数f(x)的定义域为(-

    1

    2 ,+∞),且f′(x)=a-

    2

    2x+1 ,

    (1)当a≤0时,f′(x)<0,函数f(x)在(-

    1

    2 ,+∞)上单调递减,

    (2)当a>0时,由f′(x)=0,解得 x=

    2-a

    2a >-

    1

    2 .f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表

    x (-

    1

    2 ,

    2-a

    2a )

    2-a

    2a (

    2-a

    2a ,+∞)

    f′(x) - 0 +

    f(x) 减 极小值 增 从上表可知

    当 x∈(-

    1

    2 ,

    2-a

    2a ) 时,f′(x)<0,函数f(x)在 (-

    1

    2 ,

    2-a

    2a ) 上单调递减.

    当 x∈(

    2-a

    2a ,+∞) 时,f′(x)>0,函数f(x)在 (

    2-a

    2a ,+∞) 上单调递增.

    综上所述:

    当a≤0时,函数f(x)在(-

    1

    2 ,+∞)上单调递减.

    当a>0时,函数f(x)在 (-

    1

    2 ,

    2-a

    2a ) 上单调递减,函数f(x)在 (

    2-a

    2a ,+∞) 上单调递增.

    (III)函数f(x)的图象总是在直线 y=2ax+

    1

    2 a 的上方,

    即ax-ln(2x+1)> 2ax+

    1

    2 a 在(-

    1

    2 ,+∞)上恒成立,

    即a< -

    2ln(2x+1)

    2x+1 在(-

    1

    2 ,+∞)上恒成立.

    设G(x)= -

    2ln(2x+1)

    2x+1 ,则G′(x)=

    4ln(2x+1)-4

    (2x+1) 2 ,

    令G′(x)>0得x>

    e-1

    2 ,G′(x)<0得-

    1

    2 <x<

    e-1

    2 ,G′(x)=0得x=

    e-1

    2 ,

    ∴G(x)在x=

    e-1

    2 处取得最小值G(

    e-1

    2 )=-

    2

    e .

    ∴a<-

    2

    e .

    ∴a的取值范围:a<-

    2

    e .