（1）直线y=-3x-3与x轴的交点为（-1，0），与y轴的交点为（0，-3），
∵抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，
∴
a−b+c＝0
9a+3b+c＝0
c＝−3，
解得
a＝1
b＝−2
c＝−3，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）在抛物线上存在点P（3+2
3，12+8
3）或（3-2
3，12-8
3），能够使得以线段PD为直径的⊙O′经过坐标原点O．理由如下：
设P点的坐标为（x，x2-2x-3）．
∵线段PD为⊙O′的直径，D（4，-1），
∴O′点的坐标为（
x+4
2，
x2−2x−4
2）．
∵O′O=O′D，
∴（
x+4
2）2+（
x2−2x−4
2）2=（
x+4
2-4）2+（
x2−2x−4
2+1）2，
整理，得x2-6x-3=0，
解得x=3±2
3．
当x=3+2
3时，x2-2x-3=（3+2
3）2-2（3+2
3）-3=12+8
3，此时P点的坐标为（3+2
3，12+8
3），
当x=3-2
3时，x2-2x-3=（3-2
3）2-2（3-2
3）-3=12-8
3，此时P点的坐标为（3-2
3，12-8
3）；
（3）不妨设点F在抛物线y=x2-2x-3上，E点的坐标为（m，0）．
分两种情况：
①当BE为正方形BEFG的边时，则F点的坐标为（m，m2-2m-3）．
∵四边形BEFG是正方形，
∴BE=EF，
∴|m-3|=|m2-2m-3|，
即m-3=m2-2m-3，或m-3=-（m2-2m-3），
解得m1=0，m2=3，或m1=-2，m2=3，
当m=3时，E点与B点重合，不合题意，舍去，
∴E点的坐标为（0，0）或（-2，0）；
②当BE为正方形BEFG的对角线时，
∵BE=FG，BE⊥FG，BE与FG互相平分，
∴点F在BE的垂直平分线上，且点F到BE的距离
1
2BE，
∴F点的坐标为（
m+3
2，|
m−3
2|），
∵点F在抛物线y=x2-2x-3上，
∴|
m−3
2|=（
m+3
2）2-2（
m+3
2）-3，
即
m−3
2