设x=a^(1/3)+b^(1/3),代入得
x^3=a+b+3(ab)^(1/3)(a^(1/3)+b^(1/3))=-3x+1=-3(a^(1/3)+b^(1/3))+1
对比可设
3(ab)^(1/3)=-3,a+b=1
即
ab=-1,a+b=1
得a=(1+5^(1/2))/2,b=(1-5^(1/2))/2
方程的一个实数解即为x=a^(1/3)+b^(1/3)
补充一下,以上的求法是基于充分性而非必要性,换句话说,依据以上方法可以知道x=a^(1/3)+b^(1/3) 确实是方程的一个实根,但无法确定方程是否还有其他实根.
为了解决这个问题,可以采用导数的方法,令f(x)=x^3+3x-1,则f'(x)=3x²+3>0,即f(x)单调递增,因此方程在实数域上至多只有一个根.结合上面的解法（存在一个根）,方程有且仅有唯一的实根x=a^(1/3)+b^(1/3),其中a=(1+5^(1/2))/2,b=(1-5^(1/2))/2
当然方程还有两个虚根,求它们的方法这里便不再赘述了.