Question

已知曲线C上任意一点M到点F（1，0）的距离比它到直线x=-2的距离小1．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，M到F（1，0）距离等于它到直线x=-1的距离，由抛物线定义，知C为抛物线，F（1，0）为焦点，x=-1为准线，所以C的方程为y ²=4x．…（4分）

（Ⅱ）设A（x ₁，y ₁），B（x ₂，y ₂）

联立

y=-x+b

y 2 =4x ⇒ x 2 -(2b+4)x+ b 2 =0

∴x ₁+x ₂=2b+4，x ₁x ₂=b ²…（6分）

k 1 + k 2 =

y 1 -2

x 1 -1 +

y 2 -2

x 2 -1 =

( y 1 -2)( x 2 -1)+( y 2 -2)( x 1 -1)

( x 1 -1)( x 2 -1)

=

y 1 x 2 - y 1 -2 x 2 +2+ y 2 x 1 - y 2 -2 x 1 +2

( x 1 -1)( x 2 -1)

=

y 1 x 2 + y 2 x 1 -( y 1 + y 2 )-2( x 1 + x 2 )+4

( x 1 -1)( x 2 -1)

=

x 2 (- x 1 +b)+ x 1 (- x 2 +b)-(- x 1 +b- x 2 +b)-2( x 1 + x 2 )+4

( x 1 -1)( x 2 -1)

=

-2 x 1 x 2 +(b-1)( x 1 + x 2 )+4-2b

( x 1 -1)( x 2 -1)

=

-2 b 2 +(b-1)(2b+4)+4-2b

( x 1 -1)( x 2 -1) =0…（10分）

所以k ₁+k ₂为定值．…（12分）