解题思路：若求△AEF的面积，由已知知道其底边长，只需求出高就行了，利用平行线分线段成比例定理，建立中间量，即可求出其高度，第二问先假设成立，再建立平衡方程，进一步验证．最终得出结论．
（1）过点F作FM⊥AC于M，
EF平分△ABC的周长，AE=x，所以可得AE+AF=CE+BC+BF，
即：x+AF=3-x+4+5-AF，解得AF=6-x．
由平行线分线段成比例定理可知，
AF：AB=FM：BC，即，6-x：5=FM：4，
解得FM=[24−4x/5]，
所以S△AEF=[1/2 ×
24−4x
5 •x=
12x−2 x2
5]
（2）若EF存在，
①当F在AB上时，如图1，
则由（1）可知，S△AEF=
12−2x2
5=[1/2 ×3×4×
1
2]=3，
化简得，2x2-12x+15=0，由△=122-4×2×15=24＞0，
解得x1=
6−
6
2，x2=
6+
6
2（不合题意舍去）．
即AE=
6−
6
2．
②当F在BC上时，如图2，
CF+CE=AE+AB+BF，
即CF+3-x=x+5+4-CF，
CF=3+x，
根据面积平分得出S△CFE=S四边形BFEA=[1/2]S△ACB=3，
即[1/2]×（3-x）×（3+x）=3，
解得：x3=
3，x4=-
3（舍去），
即存在直线EF将Rt△ABC的周长与面积同时平分，AE的长是
6−
6
2或
3．
点评：
本题考点： 平行线分线段成比例；根的判别式．
考点点评： 能够将未知量通过求中间量建立等式关系，进而求解，另外对于类似第二问中的问题，可用假设的方法求解．