Question

已知关于x的不等式-2≤x2+ax+b≤1（a∈R，b∈R，a≠0）恰好有一解，则b+[1a2的最小值为 ___ ．

Answer 1

解题思路：关于x的不等式-2≤x²+ax+b≤1（a∈R，b∈R，a≠0）恰好有一解，则当且仅当x=-[a/2]，

f(−

a

2

)

=1时满足条件．再利用基本不等式的性质即可得出．

令f（x）=x²+ax+b．

∵关于x的不等式-2≤x²+ax+b≤1（a∈R，b∈R，a≠0）恰好有一解，

则当且仅当x=-

a/2]，f(-

a

2)=1时满足条件．

∴b-

a2

4=1．

∴b+[1

a2=

a2/4+

1

a2]+1≥2

a2

4×

1

a2+1=2，当且仅当a²=2时取等号．

故答案为：2．

点评：

本题考点： 基本不等式；一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题考查了二次函数的性质、基本不等式的性质，属于中档题．