在正方形ABCD中,点E在线段BC上(点E不与点B、C重合),连接AE,过点E作AE的垂直交直线DC于F,交直线AB于G

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  • 解题思路:如图①过点F作FH⊥AB于H,交AE于M,根据正方形性质推出AB=BC,推出∠FHG=∠ABC,∠HFE=∠EAB,根据ASA证△ABE和△FHE全等即可;如图②,与图①证法类似证三角形全等即可;如图③证△ABE和△FHG全等即可.

    (1)CF+BG=BE,成立

    证明:如图①,过点F作FH⊥AB于H,交AE于M,

    ∴四边形FHBC为矩形,

    ∴FH=BC=AB,FC=HB,

    ∵正方形ABCD,AE⊥FG,

    ∴∠ABC=∠AEF=90°,

    ∵∠AMH=∠FME,

    ∴∠EAB=∠HFG,

    在△ABE和△FHG中

    ∠EAB=∠HFG

    AB=FH

    ∠ABE=∠FHG,

    ∴△ABE≌△FHG,

    ∴HG=BE,

    CF+BG=BE.

    (2)CF+BG=BE,

    证明:如图②,

    过点F作FH⊥AB于H,交AE于M,

    ∴四边形FHBC为矩形,

    ∴FH=BC=AB,FC=HB,

    ∵正方形ABCD,AE⊥FG,

    ∴∠ABC=∠AEF=90°,

    ∵∠AMH=∠FME,

    ∴∠EAB=∠HFG,

    在△ABE和△FHG中

    ∠EAB=∠HFG

    AB=FH

    ∠ABE=∠FHG,

    ∴△ABE≌△FHG,

    ∴HG=BE,

    CF+BG=BE.

    (3)如图③的猜想是BG-CF=BE.

    点评:

    本题考点: 正方形的性质;三角形内角和定理;全等三角形的判定与性质.

    考点点评: 此题考查了正方形的性质,三角形的内角和定理,全等三角形的性质和判定等知识点,解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量,主要考查学生能否求出证△ABE和△FHG全等的三个条件,题目比较典型,难度适中.